모노이드

• 모노이드는 연관 바이너리 함수와 항등값을 가진 대수적 타입이다.
• 연관 바이너리 함수(associative binary function):
  • 매개변수와 반환값의 타입이 동일한 바이너리 함수.
• 모노이드는 대수적 타입을 입력으로 받을 때 사용하는 가장 기본적이고 일반화된 타입.

모노이드 타입 클래스

class Monoid m where
  mempty  :: m
  mappend :: m -> m -> m

  mconcat :: [m] -> m
  mconcat = foldr mappend mempty

interface Monoid<T> {
  fun mempty(): T

  fun mappend(m1: T, m2: T): T
}

• mempty: 항등원을 반환하는 함수.
• mappend: 바이너리 함수.
• 체이닝 가능하도록 하려면 두 함수가 Monotid<T>를 반환하도록 하면 된다.
• 덧셈 모노이드:

  class SumMonoid : Monoid<Int> {
    override fun mempty(): Int = 0
  
    override fun mappend(m1: Int, m2: Int): Int = m1 + m2
  }
  

• 곱셈 모노이드:

  class ProductMonoid : Monoid<Int> {
    override fun mempty(): Int = 1
  
    override fun mappend(m1: Int, m2: Int): Int = m1 * m2
  }
  

모노이드의 법칙

• 모노이드는 항등 법칙과 결합 법칙을 만족해야 한다.
• empty 함수가 mappend 함수의 입력일 때, 순서에 관계없이 동일한 결과를 반환해야 한다:

  mappend(mempty(), x) == x
  mappend(x, mempty()) == x
  

• mappend 함수를 사용해 여러 값을 하나로 줄일 때, 연산 순서에 관계없이 동일한 결과를 반환해야 한다:

  mappend(mappend(x, y), z) == mappend(x, mappend(y, z))
  

• 덧셈 모노이드가 법칙을 만족하는지 보면:

  SumMonoid().run { mappend(mempty(), 1) == 1 } // true
  SumMonoid().run { mappend(1, mempty()) == 1 } // true
  

  SumMonoid().run { mappend(mappend(1, 2), 3) == mappend(1, mappend(2, 3)) } // true
  

• 뺄셈이나 나눗셈의 경우 연산 순서에 영향을 받기 때문에 법칙을 만족하지 못한다.

메이비 모노이드

object MaybeMonoid {
  fun <T> monoid(inValue: Monoid<T>) = object : Monoid<Maybe<T>> {
    override fun mempty(): Maybe<T> = Nothing

    overrid fun mappend(m1: Maybe<T>, m2: Maybe<T>): Maybe<T> = when {
      m1 is Nothing -> m2
      m2 is Nothing -> m1
      m1 is Just && m2 is Just -> Just(inValue.mappend(m1.value, m2.value))
      else -> Nothing
    }
  }
}

• 메이비 모노이드는 monoid라는 정적 팩토리 함수를 이용해 작성한다:
  • 컴파일 타임에는 메이비가 가진 값이 어떤 타입인지 모르기 때문.
  • 가령 MaybeMonoid<T : Monoid<T>> : Monoid<Maybe<T>>와 같이 선언하면 T를 결합하는 방법이 덧셈인지 곱셈인지 알 수 없다.
  • 따라서 런타임에 inValue를 받고, inValue의 append 함수를 사용해 메이비의 값을 결합한다.
• 항등원은 Nothing이다:
  • 따라서 mappend 함수는 m1이나 m2가 Nothing이면 다른 값을 그대로 반환한다.
• m1, m2가 모두 Just면 m1.value, m2.value가 inValue의 mappend로 결합되어야 한다.

이 문서를 인용한 문서

• 함수형 프로그래밍