부동소수점

부동소수점 인코딩

정규화된 표현: $+1.xxx \dots x_{two} \times 2^{yyy \dots y}$
32-bit word를 3개의 필드로 나누면:
```
| S | Exponent | Mantissa (fraction |
31  30         23                   0
```
- Sign (1 bit): 1 is negative, 0 positive
- Exponent (8 bit): $y$
- Mantissa (23 bit): $x$
Exponent 필드에는 biased notation을 사용한다:
- $2^1, \text{Exponent} = 1 + 127 = 128 = 1000 \ 0000_{two}$
- $2^{127}, \text{Exponent} = 127 + 127 = 254 = 1111 \ 1110_{two}$
그래서 정리하면: $(-1)^S \times (1.\text{Mantissa}) \times 2^{(\text{Exponent} - 127)}$
- $2003.0 = 0111 \ 1101 \ 0011_{two} = (-1)^0 \times 1.1111010011 \times 2^10$
  - $S = 0$
  - $\text{Exponent} = E + \text{Bias} = 10 + 127 = 137 = 1000 \ 1001_{two}$
  - $\text{Mantissa} = 1111010011 = 111 \ 1010 \ 0110 \ 0000 \ 0000 \ 0000_{two}$
  - $2003.0 = 0 \ 10001001 \ 11110100110000000000000_{two}$
0을 표현할 수 없어서 Exponent와 Mantissa가 모두 0이면 0으로 특수하게 취급.

0 | 0110 1000 | 101 0101 0100 0011 0100 0010

Sign: $0$ 이므로 positive
Exponent: $0110 \ 1000_{two} = 104_{ten}$
- Bias adjustment: $\text{Exponent} - 127 = 104 - 127 = -23$
Mantissa: $1.10101010100001101000010$ (첫 자리가 1이므로 정규화된 표현)

\begin{aligned} 1.10101010100001101000010 &= 1 + (1 \times 2^{-1}) + (0 \times 2^{-2}) + (1 \times 2^{-3}) + (0 \times 2^{-4}) + \dots \\ &=1 + 2^{-1} + 2^{-3} + 2^{-5} + 2^{-7} + 2^{-9} + 2^{-14} + 2^{-15} + 2^{-17} + 2^{-22} \\ &=1.0 + 0.666115 \end{aligned}

\text{Mantissa} \times 2^{Bias} = 1.666115_{ten} \times 2^{-23} \approx 1.986 \times 10^{-7}